%     Gravitación -> Capitulo 1.
%
% basado en la versión 1998-03-16
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%     Lista de cambios
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% 1.  [Paris]; Sec. Johannes Kepler; Parrafo 4.
%     Decia: "";
%     Dice: "";
%     Comentario: cambie codigo en TeX por por el environment 
%     description de LaTeX.
%     Fecha: 2007-11-10
%
% 2.  Samuel; 
%     Se numeraron las ecuaciones que debían ir numeradas, se corrigieron 
%     las referencias a algunas de ellas y se le dió el carácter vectorial 
%     a las ecuaciones que siguen a la 13, y se arreglo la caja de la que
%     se encuentra antes del párrafo "Esta es la famosa ...".
%     Fecha: 2007-11-14
%
% 3.  Samuel;
%     Se agrego la referencia a la tabla 2 y se corrigieron algunos
%     errores de dedo.
%     Fecha: 2007-11-23
%
% 4.  Paris; figuras
%     Decia: "";
%     Dice: "";
%     Comentario: Puse el pie de las figuras despues de al figura, movi los
%     archivos a la carpeta con los TeX y quite la extención PDF.
%     Fecha: 2007-12-04
%
% n.  [autor]; Sec ; Parrafo #.
%     Decia: "";
%     Dice: "";
%     Comentario: [opcional]
%     Fecha: aaaa-mm-dd
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% ------------------------------------------------------------
\chapter{Historia y génesis}

\section{El sistema solar}

Quien  haya tenido la oportunidad de contemplar
el cielo estrellado desde la cima de una monta\~na andina,
jam\'as podr\'a olvidar el espect\'aculo.  Desde la antig\"uedad,
esta visi\'on nocturna ha inspirado a pastores, navegantes, poetas,
m\'usicos y te\'ologos. Mientras se contempla el cielo estrellado,
es dif\'{\i}cil quedarse  en la simple admiraci\'on
y no  sentir  deseos de \textsf{entender}. Sin exagerar demasiado, se podr\'{\i}a
afirmar que la mec\'anica cl\'asica se origina en el imp\'{\i}o deseo de entender
el movimiento de los astros.
Gracias al esfuerzo de miles de cient\'{\i}ficos hoy sabemos bastante de ese
cielo estrellado, aunque deber\'{\i}amos reconocer ---como en todas las ramas
de la ciencia--- que todav\'{\i}a falta much\'{\i}simo camino por recorrer.
Aprovechando lo que se ha aprendido desde la \'epoca de Tycho Brahe, Galileo,
Kepler y Newton, vamos a dar una mirada a nuestro ``nicho ecol\'ogico", el
sistema solar.

Llamamos sistema solar a un conjunto de objetos cuyos miembros son:
{\sl a)} una estrella (el Sol); {\sl b)} nueve planetas; y {\sl c)} una gran
cantidad de objetos m\'as peque\~nos (Lunas de varios tama\~nos, asteroides y
fragmentos de rocas).

Las distancias astron\'omicas son tan grandes, que para apreciar
el tama\~no del sistema solar, lo mejor es aprovechar que la velocidad de la
luz tambi\'en es muy grande, $\sim 300 000 $ km/s.

Un destello de luz demora aproximadamente un segundo en
llegar a la Luna y ocho minutos en llegar al Sol. El planeta con la \'orbita m\'as
grande es Plut\'on. Para llegar a \'el,  un destello que parta  del
Sol demora cuatro horas y media. A nuestra escala terrestre.
el sistema solar es ciertamente muy grande.

La estrella m\'as pr\'oxima a nuestro sistema solar es Alfa Centauri.
Un destello luminoso proveniente de ella demora 4.3 a\~nos en llegar
hasta nosotros. En otras palabras, nuestro conjunto de planetas
solares ocupa una regi\'on del espacio cuyo di\'ametro es apenas
$1/30 000 $ de la distancia a la estrella m\'as pr\'oxima. El
movimiento de los planetas ciertamente est\'a influ\'{\i}do por la
estrella m\'as pr\'oxima a ellos, el Sol, pero el efecto de las
dem\'as estrellas es despreciable. El sistema solar y nosotros ---por
lo tanto--- estamos terriblemente aislados.

Aunque se ten\'{\i}a la sospecha desde hace a\~nos, ahora
se tiene evidencia directa de que Plut\'on, el planeta
m\'as distante, no es un planeta aislado, sino que est\'a constitu\'{\i}do
por un par de objetos de masas no muy diferentes, algo as\'{\i} como el par
Tierra--Luna.

Nuestra estrella vecina, el Sol, domina en cuanto a tama\~no, masa  y
temperatura a todos los dem\'as miembros del sistema solar. El planeta
m\'as grande es J\'upiter, pero su masa es apenas un mil\'esimo de la
masa solar y su radio  un d\'ecimo del radio del Sol. Debido a este
predominio del Sol, los dem\'as planetas (Mercurio, Venus, Tierra, Marte,
J\'upiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plut\'on) se mueven con una alta
precisi\'on, como si solamente los atrayese el Sol. Excepto en el caso
de Plut\'on, que puede ser un reci\'en llegado al sistema solar, sus
\'orbitas son elipses practicamente coplanarias. Estas elipses tienen
excentricidades muy peque\~nas (menores que 1/10), excepto en los
casos de Mercurio y Plut\'on, cuyas excentricidades son aproximadamente
0.21 y 0.25.

Plut\'on tambi\'en es excepcional en cuanto a la inclinaci\'on de su
\'orbita respecto a la \'orbita de la Tierra, ya que est\'a inclinada
17 grados. La distancia m\'{\i}nima de Plut\'on al Sol es menor que la
distancia promedio de Neptuno al Sol. Esto hace que, durante cierto
tiempo, en cada revoluci\'on en torno al Sol la \'orbita de Plut\'on
est\'e dentro de la \'orbita de Neptuno. Si no fuese por esa gran
inclinaci\'on de la \'orbita de Plut\'on respecto a la ecl\'{\i}ptica,
la probabilidad de choque entre Plut\'on y Neptuno hubiera sido muy
grande; tan grande, que seguramente este choque ya habr\'{\i}a
ocurrido en la historia del sistema solar y a nosotros nos hubiera
tocado conocer un sistema solar distinto.

Todos los planetas, excepto Mercurio y Venus,  est\'an
acompa\~nados de un sat\'elite o m\'as. Adem\'as de sus diez lunas,
Saturno posee un sistema de anillos compuestos por millones de
peque\~nos sat\'elites, que se mueven en \'orbitas coplanarias y casi
circulares en torno a su planeta madre. La Tierra tiene un sat\'elite
natural, la Luna (cuya masa es $\sim 1/80$ la masa de la Tierra)  y
cientos de sat\'elites artificiales,  en \'orbitas de todos tipos. En la
mayor\'{\i}a de los casos, los sat\'elites de los planetas giran en el
mismo sentido en que el planeta madre circula en torno al Sol.

Existe una ``curiosidad'' respecto a las distancias de los planetas
al Sol, la llamada ley de Bode, que se escribe:
%
\begin{align*}
R_n = 0.4 + 0.3 \times 2^n
\end{align*}
%
en que $R_n$ es la distancia promedio del planeta al Sol y $n$
es un ``n\'umero natural" que toma los valores $- \infty, 0,1,2,3,
\ldots$

Cuando esta ley fue propuesta en 1772 no se la aplaudi\'o mucho,
pues a\'un no se hab\'{\i}a descubierto a los asteroides ni se hab\'{\i}a
detectado a Urano,  Neptuno ni Plut\'on. Cuando en 1781 se descubri\'o a Urano
y su distancia se compar\'o con la predicci\'on de Bode, la concordancia
fue tan grande que la ley de Bode gan\'o respetabilidad, por lo que se
dirigi\'o entonces la atenci\'on al hueco entre las \'orbitas de Marte y
J\'upiter. Muchos astr\'onomos emprendieron la b\'usqueda del planeta
que faltaba, pero, en vez de encontrar a un planeta, lo que
encontraron fue un gran n\'umero de peque\~nos objetos (los
asteroides) cuya distancia al Sol es casi exactamente la predicha por
la ley de Bode.

A pesar de que el ajuste de Neptuno es pobre y que la \'orbita de
Plut\'on no se ajusta en absoluto (aunque est\'a cerca de $R_7$),
creo que no debemos rechazar por completo la ley de Bode. As\'{\i}
como los nuevos estudios respecto a sistemas din\'amicos y caos han
permitido entender los anillos de Saturno, es probable que dentro de
poco se encuentre la teor\'{\i}a tras la ley de Bode, al igual que a
comienzos de siglo se encontr\'o la teor\'{\i}a tras la serie de
Balmer.

Usando la distancia Tierra-Sol como unidad, la Tabla \ref{cap1:tabla1} muestra
las distancias predichas por la ley de Bode y las distancias medidas.

\begin{table}
\caption{Distancias predichas por la ley de Bode y medidas.\label{cap1:tabla1} }
\centering{\begin{tabular}{cccc}
Objeto & N & Ley de Bode & Medido \\ \hline
Mercurio & $-\infty$ &  0.4 &  0.39 \\
Venus &  0 &   0.7 &  0.72\\
Tierra & 1 &   1.00 &  1.00\\
Marte & 2 &   1.6 &  1.52\\
Asteroides & 3 & 2.8 & 2.80 \\
J\'upiter & 4 &   5.2 &  5.20\\
Saturno  & 5 &   10.0 &  9.54\\
Urano &  6 &   19.6 &  19.20\\
Neptuno & 7 &   38.8 &  30.07\\
Plut\'on & 8 &   77.2 &  39.46\\ \hline
\end{tabular}}
\end{table}

El ajuste es demasiado bueno para que se trate de una simple
ca\-sua\-li\-dad. Cuando sepamos un poco m\'as, seguramente
tambi\'en entenderemos  la ley de Bode y reconoceremos que ella
contiene indicaciones valiosas respecto a la prehistoria del sistema
solar y que el pobre ajuste, en el caso de Plut\'on ---por ejemplo--- se debe
a que Plut\'on fue capturado por el sistema solar mucho despu\'es de su
formaci\'on. Quiz\'as tambi\'en entendamos por qu\'e no se observan planetas
correspondientes a valores de $n$ m\'as altos.

La  {\sl fuerza gravitatoria} es la que  determina muchas de las
caracter\'{\i}sticas macros\-c\'opicas del Universo, lo que convierte
a la gravitaci\'on en uno de los temas m\'as interesantes
de la F\'{\i}sica. Desgraciadamente,
para la mayor\'{\i}a de  la gente,  la ley de gravitaci\'on es solamente
algo  que un mal d\'{\i}a, sin saber de d\'onde,  les cay\'o  en la  cabeza.
Aunque  esto  sea comprensible en el  caso de una ley que se refiere  a
ca\'{\i}das, de  todos modos  uno puede preguntarse de d\'onde
sali\'o,  c\'omo se la descubri\'o  o c\'omo se la invent\'o.

La historia del progreso en la comprensi\'on de la gravitaci\'on, es
interesant\'{\i}sima  y bien merecer\'{\i}a un curso completo. Pero
como nuestra vida es finita, nos saltaremos el pr\'ologo  ---all\'{\i}
\  donde  aparecen fenicios y babilonios--- y tambi\'en nos saltaremos
el primer acto ---con  Cop\'ernico y Tycho Brahe---, fingiendo llegar
solamente en el segundo acto, donde aparece en escena Johannes Kepler,
uno de los protagonistas.

\section{Johannes Kepler}

Seg\'un \'el mismo contara, {\sl  Johannes Kepler  fue  concebido   el
16  de Mayo  de 1571 (D.C.)  a las 4:37 de la ma\~nana  y naci\'o el
27 de Diciembre a las 2:30 de la tarde, luego de un embarazo  que
dur\'o 224 d\'{\i}as,  9 hrs. y 53 minutos.}

Esta informaci\'on autobio\-gr\'afica  de Kepler  corresponde al
ho\-r\'oscopo  que \'el mismo se  hizo.   Es uno de  los tantos datos
curiosos y  discusiones interesantes  que aparecen en un libro
que recomendamos  calurosamente:  {\sl Los Son\'ambulos}, de
Arthur Koestler.

Estudiando  las observaciones que Tycho Brahe hizo
de las posiciones de los planetas, en distintas
fechas, Kepler descubri\'o algunas regularidades, las que
hoy lucen  el respetable t\'{\i}tulo de leyes. Aunque  conocidas,
en homenaje a su autor repetimos sus famosas tres leyes:

\begin{description}
\item[PRIMERA LEY DE KEPLER:] Todos los planetas describen
\'orbitas el\'{\i}pticas en torno al Sol. Estas elipses tienen un foco
en com\'un y all\'{\i} est\'a el Sol.
\item[SEGUNDA LEY DE KEPLER:] Los vectores posici\'on
dibujados desde el Sol a un planeta, barren \'areas iguales en tiempos
iguales.
\item[TERCERA LEY DE KEPLER:]
Si llamamos {\sl a} al semi-eje mayor de las \'orbitas y {\sl T} al
per\'{\i}odo de revoluci\'on de los planetas, el cociente $ {a^3/T^2} $ tiene
el mismo valor para todos los miembros de la familia solar.
\end{description}

Antes de seguir adelante notemos que, si  $a^3/T^2 $ es una constante,
tambi\'en lo es $4\pi^2 a^3/T^2 . $ Por otra parte,
$ 4\pi^2/T^2 $ es  $\omega ^2,$ ---el cuadrado de la rapidez
angular promedio del planeta---, de modo que a la tercera ley de Kepler se
la puede escribir:
%
\begin{align*}
\boxed{a^3 \omega ^2 =   \hbox{constante}}
\end{align*}

No  sabemos  c\'omo razon\'o Newton, pero vamos a
inventar  un  cuento   de historia--ficci\'on.  Este cuento
mostrar\'a que  si a las tres
leyes de Kepler le agregamos un par de inspiraciones art\'{\i}sticas,
obtenemos una ley de gravitaci\'on bastante decente.

Como es de sospechar, en lo que sigue jugar\'a un gran papel la geo\-me\-tr\'{\i}a
de la elipse. Si ignoras casi todo de ella, pueden servirte  de ayuda
las notas matem\'aticas relegadas a uno de los \'ultimos
cap\'{\i}tulos (consulta el excelente \'{\i}ndice).

\section{Ley  de las \'areas y direcci\'on de la fuerza}

Nuestro plan de viaje es el siguiente: comenzando con la ley de las
\'areas,  mostraremos que ella implica que la aceleraci\'on de los
planetas es toda hacia el Sol; luego se ver\'a que si las \'orbitas
son elipses, entonces la aceleraci\'on  depende del inverso del
cuadrado de la distancia Sol--Planeta y, finalmente, veremos que si
insistimos en usar la ley $\vec F = m \vec a, $ debemos concluir
que el Sol aplica fuerzas a los planetas, aunque no veamos cable
ni conexi\'on alguna entre ellos. Nuestra historia--ficci\'on es un relato de
c\'omo pudo haber sido el razonamiento que condujo a la ley de gravitaci\'on
universal, si es que sus descubridores (o inventores) hubiesen seguido una
l\'{\i}nea recta que inexorablemente conduce a la meta. Sabemos que no es
as\'{\i}, que se cometen errores, se siguen pistas falsas, se vuelve
al camino principal y a veces se avanza un poco m\'as, sin saber que
realmente se ha avanzado.

Veamos ahora por qu\'e la ley de las \'areas  implica que la fuerza que
act\'ua sobre el planeta es una fuerza central, es decir, una fuerza
que constantemente apunta hacia el Sol.

Si en cierto instante un objeto  se encuentra en el punto determinado
por el vector posici\'on $ \vec r(t)  $  y $ \Delta t $ segundos m\'as tarde
se encuentra en la posici\'on $\vec r + \Delta \vec r, $  entonces el \'area
barrida por el vector posici\'on,  en este intervalo, es  $\Delta \vec A  =
\frac12   \vec r \times  \Delta  \vec r. $

Como  $\Delta \vec r = \vec v \Delta t $, podemos escribir:
%
\begin{align*}
\Delta \vec A = \frac12    \vec r \times \vec v \Delta t
\end{align*}

\begin{figure}[h]
\centering{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{./grav/cap01_fig01}}
\caption{Area barrida por el vector posici\'on en $\Delta t $.\label{cap1:f1}}
\end{figure}

De aqu\'{\i} \  se ve de inmediato que
\begin{align}
\label{cap1:ec1}
\frac{\Delta \vec A }{\Delta t} = \frac12   \vec r \times \vec v
\end{align}


La expresi\'on anterior hace recordar a nuestro antiguo conocido, el
momentum angular $ \vec l = \vec r \times m \vec  v,$  de modo que
aprovechando esto y tomando un $\Delta t$ muy peque\~no,  la
ecuaci\'on (\ref{cap1:ec1}) se  escribe:
%
\begin{align*}
\frac{d \vec A}{dt} = \frac{\vec l }{2m}
\end{align*}

Podemos interpretar la relaci\'on anterior del siguiente modo:
puesto que la velocidad de barrido de \'area $ d\vec A/dt$  es constante,
tambi\'en es constante el momentum angular  del planeta.

Como ya sabemos que  $d \vec l/ dt = \vec \tau ,$  la constancia de $\vec l$
nos permite asegurar que si el Sol ejerce una fuerza sobre el planeta,
esta fuerza debe ser una fuerza tal que, respecto al Sol, no tenga
torque. Para que esto ocurra, los vectores $ \vec r$ y $ \vec F$ deben
ser paralelos o anti--paralelos y esto es justamente lo que significa
ser una {\bf fuerza central}.

Aceptemos la posibilidad de que el tama\~no de esta fuerza  dependa
solamente de la distancia, es decir, aceptemos que se la pueda
escribir en la forma $ \vec F = f(r) \widehat r $.
Si  calculamos el torque de estas  fuerza  respecto  al  Sol,  en  el
producto $\vec r \times \vec F $  aparece el producto cruz de dos  vectores
paralelos, de modo este torque es cero.

La segunda pista de Kepler ---su ley de las \'areas--- ya  ha  dado
frutos:  escondida  en ella se  encuentra  la
informaci\'on  de que la  fuerza sobre el planeta est\'a siempre dirigida hacia
el Sol. Esta ley tambi\'en implica otra propiedad de las
\'orbitas planetarias: como $ \vec l $ es constante y siempre perpendicular
con $ \vec r, $  las \'orbitas deben ser planas.

\section{La fuerza es proporcional con 1/r$^2$ }

Vamos ahora a mostrar que,  si  las  \'orbitas  planetarias  son
el\-\'{\i}pticas, entonces la fuerza sobre los planetas ---adem\'as de
estar siempre dirigida al Sol---  debe depender de la distancia Sol--
Planeta; m\'as precisamente, el tama\~no de la fuerza ha de variar
inversamente   con  el  cuadrado   de  esa distancia.

\begin{figure}[h]
\centering{\includegraphics[scale=0.4]{./grav/cap01_fig02}}
\caption{Anomal\'{\i}a central y \'angulo polar en una elipse.\label{cap1:f2}}
\end{figure}

Las ecuaciones
param\'etricas  de una elipse centrada son: 
\begin{align}
\label{cap1:ec2}
x = a  \cos\phi \qquad y = b  \sen\phi
\end{align}

La experiencia muestra que el punto f\'{\i}sicamente importante no es
el centro de la elipse, ya que all\'{\i} no hay nada. Si se observa
las aceleraciones de los planetas, se encuentra que todas ellas
apuntan su dedo acusador hacia el llamado astro rey.
Nuestro sistema de coordenadas lo instalaremos entonces en el Sol. Para esto, basta correr el origen del sistema
anterior en  $a\epsilon,$  que  es la distancia entre el centro de
la elipse y el foco. No hace falta girar los ejes, de  modo que si a
los nuevos ejes los seguimos llamando XY,  pero con letras may\'usculas,
las ecuaciones param\'etricas  de la misma elipse anterior,  referidas
a estos nuevos ejes, son
%
\begin{align}
\label{cap1:ec4}
X = a\cos \phi - a\epsilon  \qquad Y = b\sen \phi
\end{align}

Es f\'acil expresar la distancia al foco en funci\'on de $\phi$:
%
\begin{align*}
R^2 & = X^2+Y^2 = a^2(\cos\phi -\epsilon)^2 + b^2\sen^2\phi\\
& =    a^2(\cos\phi   -\epsilon)^2+(a^2-a^2\epsilon   ^2)\sen^2\phi
\end{align*}
%
y por lo tanto,
\begin{align}
\label{cap1:ec5}
R = a(1-\epsilon \cos \phi)
\end{align}

\begin{angosto}
Esta no es la expresi\'on m\'as com\'un para la ecuaci\'on de
una elipse. En los libros de geometr\'{\i}a,   la ecuaci\'on que se da
es $ r = a(1-\epsilon ^2)/(1 + \epsilon  \cos \theta), $ ecuaci\'on
que es correcta si se usa la {\sl anomal\'{\i}a verdadera,} pero
nosotros estamos usando otro \'angulo.
\end{angosto}

Aprovechando la ley de las \'areas,  si llamamos $\dot A$ a la
rapidez con que se las barre y como $ \dot A =
\frac12 |\vec r \times \vec v |$, podemos escribir que \medskip
%
\begin{align}
\label{cap1:ec6}
X\dot Y - \dot X Y = C
\end{align}
%
en donde naturalmente la constante $C = 2 \dot A$.

Derivando las ecuaciones (\ref{cap1:ec4}),  obtenemos $\dot X$ y $\dot Y$ y
la ecuaci\'on anterior la podemos reescribir:
%
\begin{align*}
(a\cos\phi-a\epsilon) b\dot \phi \cos\phi - (-a\dot \phi \sen\phi)  b\sen\phi  = C
\end{align*}
%
de donde,
%
\begin{align}
\label{cap1:ec7}
\dot \phi = \frac{C}{ab(1-\epsilon \cos \phi)}
\end{align}

Se ve que la velocidad $\dot \phi$ no es constante, pero si conocemos
C y la forma de la \'orbita, la ecuaci\'on anterior nos dice cu\'anto es
$d\phi / dt$, en cualquier lugar.

Como nos interesa  la aceleraci\'on, $d^2\vec R/dt^2$, vamos  a
calcular  las    segundas  derivadas  de  X  y Y.  Se tiene
%
\begin{align*}
\dot X = \frac{-C \sen\phi }{b ( 1-\epsilon   \cos\phi)} ,\qquad  \dot Y = \frac{C\cos\phi }{a (1-\epsilon \cos\phi).}
\end{align*}
%
derivando otra vez, se encuentra que
%
\begin{align*}
\ddot X &= \frac{-C^2a}{b^2}\frac{X}{R^3},\\
\ddot Y &= \frac{-C^2a}{b^2}\frac{Y}{R^3}.
\end{align*}

Estas ecuaciones son las componentes de la aceleraci\'on de los
planetas. Junt\'andolas, descubrimos que la aceleraci\'on
depende inversamente del cuadrado de la distancia al Sol.
%
\begin{align}
\label{cap1:ec8}
\frac{d^2 \vec R}{dt^2}  =  - \frac{C^2a}{b^2} \frac{\widehat R}{R^2}
\end{align}

Dicho en palabras:   a partir de las dos
primeras leyes de  Kepler, se encuentra que {\bf la aceleraci\'on
es \underbar{central}   e inversamente proporcional con $1/r^2$.}

\section{Usando la ley de acci\'on--reacci\'on}

Evaluemos la constante $C^2 a/b^2 $  que aparece en la \'ultima ecuaci\'on.
Si llamamos $T$ al per\'{\i}odo de revoluci\'on del planeta en
torno al sol, entonces  la velocidad de barrido de \'area es $ \dot A
= \pi ab/T $, puesto que el \'area de una elipse es $\pi ab.$

Por otra parte,  $C = 2 \dot A$, asi que
%
\begin{align*}
C^2  & = (2 {\dot A})^2  = \Bigl( 2 \frac{\pi ab}{T}\Bigr)^2  \\
& = \Bigl(\frac{2\pi}{T}\Bigr)^2 a^2b^2.
\end{align*}

Entonces, la constante que nos interesa,   $C^2 a/b^2, $
puede escribirse
%
\begin{align}
\label{cap1:ec9}
C^2 \frac{a}{b^2 } = \omega^2 a^3
\end{align}
%
siendo $\omega $ la velocidad angular promedio.

Si la \'orbita es una elipse
y la velocidad de barrido de \'area es constante, entonces ya hay
dos conclusiones:  1) la fuerza es central y 2) la fuerza var\'{\i}a
inversamente con el cuadrado de la distancia sol--planeta.

Si en vez de escribir $\omega^2 a^3$\kern-.5pt , a esta constante la llamamos
$M,$ la ecuaci\'on (\ref{cap1:ec8}) queda as\'{\i}:
%
\begin{align}
\label{cap1:ec10}
\frac{d^2 \vec R}{dt^2}  =  - \omega^2a^3 \frac{\widehat R}{R^2} =  -\frac{M}{R^2} \widehat R
\end{align}

Seg\'un Kepler, $M$ es una constante que tiene el mismo valor
para toda la familia de  planetas que giran en torno al Sol. Esto es
solamente otra manera de decir que M no depende de los planetas,
sino de alguna propiedad del sol. M\'as adelante veremos que
esta conclusi\'on no es totalmente cierta (ver {\sl Las virtudes del
mal medir}).

Entonces, para poner \'enfasis en que M depende del Sol, vamos a escribir la
ecuaci\'on anterior poniendo $M_{sol},$  en vez de $M,$
\begin{align}
\label{cap1:ec11}
\frac{d^2\vec R}{dt^2} = -{ M_{sol} \over R^2} \widehat R
\end{align}

¡No nos dejemos intimidar por los nombres! El nombre que demos a la
constante   $M_{sol}$   realmente no interesa. Bien  podr\'{\i}amos llamarla
``atractividad del Sol",  ``sex-appeal solar'' o cualquier otra cosa.
Durante mucho tiempo se la llam\'o {\bf masa astron\'omica del Sol}
simplemente porque para determinarla, hab\'{\i}a que pedirle ayuda a los
astr\'onomos, que son los que saben  medir distancias estelares
y per\'{\i}odos de revoluci\'on. Por ejemplo,
midiendo  la  distancia Tierra-Sol  y el
per\'{\i}odo de revoluci\'on de  la Tierra,  encontraron que la masa
astron\'omica del
Sol es $ 1.83 \times 10 ^{11} \hbox{\kern7pt km\kern-3pt $^3$
\kern-5pt /s \kern-4pt $^2$ }.$

Supongamos ahora que tenemos un planeta de masa $m_p$. Ciertamente esta $m_p$ no la
podemos determinar con una balanza, pero, aunque no la podamos medir
directamente, vamos a suponer que es una medida de la ``flojera'' de este
planeta; es decir, $m_p$ ser\'{\i}a lo que se suele llamar su masa \underbar
{inercial}. Puesto que los planetas son acelerados hacia el Sol,
suponemos que sobre ellos act\'ua una fuerza y naturalmente el Sol es,
en este caso, el principal sospechoso. Llamaremos entonces $\vec F_{ps} $ a la
fuerza que act\'ua sobre el planeta, debida al Sol. De la ley $\vec F = m\vec
a$ y de la ecuaci\'on (\ref{cap1:ec11}), se tiene
\begin{align}
\vec F_{ps} = - m_p M_s \frac{\widehat R}{R^2}
\end{align}
%
en que R es la distancia planeta--sol y $\widehat R$ es un vector unitario
que apunta desde el Sol hacia el planeta.

Ahora  parece inevitable  tener que hacer  una hip\'otesis  extra:
{\bf si el Sol atrae al planeta, con igual intensidad el planeta atrae
al Sol}.  En s\'{\i}mbolos,
\begin{align*}
\vec F_{ps} = - \vec F_{sp}
\end{align*}

Esta es la tercera inspiraci\'on de Newton, que hoy
lleva  el  respetable nombre  de  ``tercera ley".

Entonces, as\'{\i} como escribimos la ecuaci\'on (\ref{cap1:ec11}), podr\'{\i}amos describir
la fuerza que el planeta ejerce sobre el Sol diciendo:
\begin{align}
\label{cap1:ec12}
\vec F_{sp} =  m_s M_p \frac{\widehat R}{R^2}.
\end{align}

De estas dos \'ultimas ecuaciones, se desprende que
$$ m_p M_s = m_s M_p $$
o lo que es equivalente
$$ \frac{M_p}{m_p} = \frac{M_s}{m_s} = \hbox{constante}. $$

La costumbre es llamar a esta constante con el nombre de $G$. Por lo tanto,
en vez de poner$ M_s, $ podr\'{\i}amos poner $ Gm_s $ y la ecuaci\'on (\ref{cap1:ec12}) se
transformar\'{\i}a  en
$$ \vec{F} =  \frac{Gm_pm_s}{R^2}\hat{R}$$

Newton intuy\'o que esta  atracci\'on ocurr\'{\i}a no solamente  entre el Sol y
los planetas,  sino entre cualquier par de objetos. Para poner \'enfasis
en la universalidad de esta ley, la vamos a escribir sin referirnos al
sistema solar: 
%
\begin{align*}
\boxed{\vec{F} = \frac{G m_1 m_2}{r^2}\hat{r} }
\end{align*}

Esta  es  la famosa ley  de  gravitaci\'on: la  fuerza  es {\bf
siempre} de atracci\'on, ocurre a lo largo de la recta que une a las dos
part\'{\i}culas,  es  inversamente proporcional   con  el  cuadrado  de  la
separaci\'on entre \'estas   y es directamente proporcional con el producto
de las masas entre las part\'{\i}culas.  Adem\'as,   la  fuerza de
gra\-vi\-ta\-ci\'on
act\'ua  a distancia\ldots lo  que crea  pro\-ble\-mas muy grandes  a nuestras
mentes, acostumbradas a las fuerzas de contacto. La capacidad de jalar
a distancia trajo problemas al mism\'{\i}simo Newton. Veamos lo que
escribe en 1686, en su {\sl Principia}:

\begin{angosto}
Hasta aqu\'{\i} hemos explicado los fen\'omenos del cielo
y de nuestro mar mediante el poder de la gravedad, pero no hemos
atribu\'{\i}do una causa a este poder. Con seguridad debe proceder de
una causa que penetra hasta el centro mismo del Sol y de los planetas,
sin que su fuerza sufra la menor disminuci\'on; que no opera  seg\'un
el tama\~no de las superficies de las part\'{\i}culas sobre las que
act\'uan (como lo hacen  las causas mec\'anicas), sino seg\'un
la cantidad de materia s\'olida que contienen y que propaga su
virtud hacia todas direcciones hasta distancias enormes, siempre
disminuyendo inversamente seg\'un el cuadrado de las distancias.
\end{angosto}

En este p\'arrafo, Newton reconoce paladinamente que su ley no {\sl
explica} c\'omo es que el Sol puede actuar a distancia, puesto
que  no hay conexiones materiales visibles entre el Sol y los planetas.

Para que no los sorprendan con notaciones desconocidas, veamos otra manera
de escribir la ley de gravitaci\'on. En primer lugar, puesto que la
fuerza es un vector, adem\'as del tama\~no de la fuerza se debe especificar
su direcci\'on. Una manera de hacerlo es la siguiente: si nos
instalamos en la part\'{\i}cula \particula{1} \  y desde
all\'{\i} el vector posici\'on de la otra part\'{\i}cula es $ \vec r
$, entonces la fuerza  $ \vec F_{21}, $ que act\'ua sobre la part\'{\i}cula
\particula{2}, debido a la part\'{\i}cula \particula{1},  es:
%
\begin{align*}
\vec F _{21} =  - Gm_1m_2   \frac{\vec r }{r^3 }.
\end{align*}

Si, como de costumbre, llamamos $\vec F_{12} $ a la fuerza aplicada a la
part\'{\i}cula \particula{1} por la part\'{\i}cula \particula{2} y llamamos
$\vec F_{21} $ a la fuerza que act\'ua sobre \particula{2} debido
a \particula{1}, la simetr\'{\i}a de la interacci\'on se puede
expresar as\'{\i}:
%
\begin{align}
\label{cap1:ec13}
\vec F_{12} + \vec F_{21}=0
\end{align}

El que la suma de fuerzas anterior sea cero,  {\bf no} significa que  las
fuerzas  se anulen, que no  produzcan  efecto  alguno. Por el contrario,
\u{ambas}  part\'{\i}culas  aceleran.  Las  fuerzas $\vec F_{12} $
y  $\vec F_{21} $  \u{no}  se  anulan porque act\'uan sobre
cuerpos distintos. Pensar que se anulan es como creer que
servir\'a  de algo dar un ant\'{\i}doto  a Ad\'an  cuando la
intoxicada es Eva.

Escrita la ley de gravitaci\'on,  damos por terminado
nuestro cuento  de historia--ficci\'on. Hemos  visto c\'omo
se podr\'{\i}a ir desde los hechos aislados (las observaciones de
Tycho Brahe), a la
descripci\'on econ\'omica de esos hechos (las leyes de Kepler)  y,
finalmente, de qu\'e modo llegar a una ley que encierra y organiza
todo, la ley de gravitaci\'on.

No quisiera dejar la impresi\'on de haber pretendido una ``deducci\'on'' de
la ley de gravitaci\'on: apenas hemos mostrado una ruta posible, un camino
que no est\'a labrado en la roca firme de la m\'as pura l\'ogica, sino
que, por el
contrario, es un camino lleno de puentes, tendidos por la intuici\'on para
atravesar abismos en los que la pura l\'ogica es inservible. Poco a poco vamos a
ir revisando algunos de estos pasos, que son los que distinguen
a la f\'{\i}sica de las matem\'aticas.

\section{Newton y la constante  G}

El primero en tener una idea bastante buena del valor de G fue
Newton, quien lo calcul\'o a partir del valor de la
aceleraci\'on de gravedad local, del radio de la Tierra y de una ingeniosa
estimaci\'on de  la masa de \'esta. Veamos c\'omo.

Seg\'un la ley de gravitaci\'on, el valor de la aceleraci\'on de
gravedad en la superficie de la Tierra es $  g = GM/R^2$

Tomando para radio de la Tierra el valor $R = 6376 $ km y
para  la a\-ce\-le\-ra\-ci\'on de gravedad el valor g = 9.8  m/s$^2,$
se obtiene
%
\begin{align*}
K  = GM = gR^2  = 3.97 \times 10^{14}
\end{align*}

Para calcular  la constante de gravitaci\'on universal
solamente  faltar\'{\i}a conocer la masa de la Tierra,
as\'{\i} es que Newton decidi\'o estimarla. Comenz\'o tratando de
encontrar la densidad te\-rres\-tre promedio.
Estudiando diversos tipos de rocas Newton concluy\'o
que un buen valor, para la densidad terrestre promedio,
es 3.7 g/cm$^3$.  Si esto es cierto, la masa de la Tierra ser\'{\i}a
$M = 4 \times 10^{24} $, lo que conduce a $9.9 \times 10^{-11} $
como valor aproximado para G.

Despu\'es de Newton, se han hecho numerosas determinaciones directas de
G. Son mediciones de laboratorio, en las que no se necesita
conocer la masa de la Tierra. La primera de estas determinaciones
la hizo Henry Cavendish en 1798, setenta a\~nos despu\'es de la muerte
de Newton.

La Tabla \ref{cap1:tabla2} muestra c\'omo ha ido progresando nuestro
conocimiento de las constantes fundamentales. En ella la precisi\'on
se indica en partes por mill\'on, de modo que, cuando en 1929  a G se
le asocia el n\'umero 1140, eso significa que en \'ese tienpo G se
conoc\'{\i}a con una precisi\'on $dG/G = 1140/1 000 000$  \bigskip

Dejando de lado el hecho de que ahora la velocidad de la luz
se conoce con una precisi\'on infinita (por definici\'on), basta una
mirada para darse cuenta que nuestra amiga G  no es de
las m\'as f\'aciles de medir.

\begin{table}
\caption{Progreso de las constantes fundamentales.\label{cap1:tabla2}}
\centering{\begin{tabular}{lrrrrr}
Constante & 1929 & 1948 & 1963 & 1973 & 1983 \\ \hline
Velocidad de la luz (c) & 20 & 20 & 0.3 & 0.004 & 0.004  \\
Carga del electr\'on (e) & 1660 & 156 & 15 & 2.9 & 1.8 \\
Constante de Planck (h) & 1800 & 246 & 25 & 5.4 & 3.6 \\
Masa del electr\'on $(m_e)$ & 1660 & 195 & 15 & 5.1 & 3.6 \\
Masa del prot\'on $(m_p)$ & 2744 & 100 & 16 & 5.1 & 3.6 \\
(Constante estructura fina)$^{-1} (\alpha ^{-1})$ & 175
 & 73 & 5 & 0.8 & 0.2 \\
Constante gravitatoria (G) & 1140 & 1140 & 750 & 615 & 86 \\ \hline 
\end{tabular}}
\end{table}

Trat\'andose de una constante tan fundamental,
uno podr\'{\i}a pensar que
a G se la conoce muy bien, pero no es as\'{\i}. Por el contrario, G
parece ser la constante fundamental \underbar{peor} conocida.
Entonces, a la tabla anterior vamos a agregarle el valor m\'as
preciso y reciente. En el Sistema Internacional de Unidades,
%
\begin{align*}
\boxed{ G = (6.6726 \pm 0.0005 ) \times 10^{-11} }
\end{align*}

N\'otese que este valor m\'as reciente es apenas un poco m\'as
preciso que los anteriores.

Disponemos ahora de  todo lo necesario para calcular la fuerza
de atracci\'on  entre part\'{\i}culas.  Sin embargo a Newton
le interesaba conocer la fuerza de atracci\'on entre la
Tierra y la Luna, digamos la fuerza entre dos esferas.
Este es un problema mucho m\'as formidable que calcular
la fuerza entre part\'{\i}culas, tan formidable, que al
aism\'{\i}simo Newton lo mantuvo ocupado durante muchos a\~nos.
